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수학본색 ③

수학’하면 ‘공식’을 먼저 떠올린다. 공식은 계산의 법칙이나 방법을 문자와 기호로 나타낸 식이다. 법칙은 수학에선 연산 규칙을 의미한다. 성질은 구체적인 의미를 설명하지 않지만, 법칙이나 다음의 정리와 같은 맥락에서 이해하면 충분하다. 정리는 정의나 앞선 정리로부터 연역할 수 있는 명제를 말한다.

 ‘공식·법칙·성질·정리’라는 명칭과 그 자격을 가지려면 증명이라는 과정을 거쳐야 한다. 학생들 대부분은 증명과정을 싫어하는데, 무작정 공식을 암기하기보다 공식의 증명과정을 이해하면서 암기하면 쉽게 기억할 수 있다. 증명과정 자체가 문제풀이에 사용되니 2학년이 끝날 때까진 이를 소홀히 하면 안 된다. 수능에서는 증명과정 자체가 문제로 나오기도 하지만, ‘진위판별형 문제(합답형 문제)’의 경우 보기 ㄱ, ㄴ, ㄷ을 증명을 통해 참과 거짓을 판단해야 하는 경우도 있다.

 증명이란 ‘p(전제)이면 q(결론)이다’라는 명제에서 ‘참’을 전제로 유효한 추론을 통해 결론을 이끌어내는 과정이다. 유효한 추론이란 전제가 참이면 결론도 참인 추론을 의미한다. 방법은 직접 증명법과 간접 증명법이 있다.

 직접 증명법엔 연역법과 귀납법이 있다. 수능과 직접 관련 있는 증명은 ‘수학Ⅰ’의 ‘수열’단원의 ‘수학적 귀납법’이다. 자연수와 관련한 각종 공식 등을 증명하는 방법이다. 간접증명은 귀류법과 대우법이 있다. 대우법은 명제‘p(전제)이면 q(결론)이다’가 참임을 증명하는데, 이와 동치인 명제 ‘∼q→ ∼p이다’(원 명제와 대우 명제는 진리 값이 같다)가 참임을 증명하는 것이다.

 귀류법은 그 명제의 결론을 부정해 가정의 모순을 끌어내 그 명제의 부정이 옳지 않다는 것을 증명하는 방법이다. ‘ 는 무리수이다’를 증명할 때 귀류법을 사용하는 것으로 유명하다. ‘수학Ⅰ’에선 ‘행렬’ 단원의 ‘진위판별형(합답형)’ 문제에서 가끔씩 귀류법을 써야 하는 경우가 있다. 귀류법을 쓰는 경우는 많지 않으므로 시험에 나오면 대부분 틀릴 확률이 높아 주의가 필요하다.

 ‘공식·법칙·성질·정리’에 대한 몇 가지 오해가 있다. 첫 번째가 암기만 하면 문제가 풀릴 것이라는 생각이다. 이 생각은 틀린 문제의 해설을 보면서 착각이라는 것을 깨닫게 된다. 해설지를 보면 암기한 공식이 풀이에 적용되고 있는데도, 실제 문제풀이에선 공식을 이용하지 못하는 것이다.

 두 번째 착각은 공식이 있는 그대로 문제풀이에 적용된다는 생각이다. 공식이 식의 형태로 이뤄지면, 변형된 형태로 적용되는 경우도 있고, 명제의 형태면 대우명제 형태로 바꿔서 적용해야 하는 경우도 있음을 알아야한다. 주어진 문제를 변형한 이후에 공식이 적용되는 경우도 있는데, 이는 문제풀이에서 공식 암기가 전부가 아님을 알게 하는 대목이다. 공식이 적용되려면 문제를 변형해야 하는 경우도 있다는 사실을 알아야 한다.

 ‘공식·법칙·성질·정리’와 관련해 다음을 명심해야 한다. ①암기가 제대로 이뤄지지 않으면 ‘공식·법칙·성질·정리’를 이용한 기본 유형의 문제풀이가 불가능해진다. 공식에 대한 이해 없이 암기에 그치면, ②응용된 문제는 ‘공식·법칙·성질·정리’를 알고도 문제를 풀지 못하게 된다. ‘공식·법칙·성질·정리’를 암기하는 것은 그 공식이 어떻게 나왔으며, 실제 문제에 어떻게 적용해야 하는지 이해가 필요하다. ③ 관련 공식은 묶어서 정리해야 한다. 구별해야 하는 공식은 차이점을 이해한 후 암기해야 한다. 그렇지 않으면 실전에서 혼동이 생긴다.

<이광준 이투스교육 수학참고서 6inch 대표저자>

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