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수학본색 ②

‘다음을 정의해 보세요. f(x)·소녀시대·카라·시스타’ 이런 물음이 시험에 나온다면 여러분들은 막힘 없이 쓸 것이다. 소속사·구성원·개인이력·앨범 등을 쓰면 된다. ‘정의’ 의미는 어떤 대상을 보편적으로 논의하기 위해 사용하는 용어나 기호의 의미를 나타낸 문장이나 식이다. 수학의 예를 들면 로그라는 대상을 다루기 위해 기호( )와 로그를 구성하는 밑( )과 진수( )의 의미와 조건을 설명하게 된다. 로그가 정의돼야 비로소 로그성질, 밑변환 공식 등을 적용할 수 있다. 즉, 정의는 어떤 개념을 이해하는 출발점인 셈이다.



정의로 개념 잡아야 다양한 풀이법 구사 가능

 정의는 ‘구별’이라는 의미도 된다. 걸그룹 f(x)가 정의되는 순간 다른 걸그룹과 구별되고, f(x)만의 고유한 것을 얘기할 수 있다. 수학도 마찬가지다. ‘로그’라는 개념이 정의되는 순간 다른 수들과 구별되고 동시에 로그만의 고유한 내용을 다룰 수 있다. 두 개념 간 비슷한 요소가 있으면 혼동도 일어난다. 예를 들어 확률 단원의 ‘배반사건’과 ‘독립사건’의 구별이다. 두 개념을 혼동해 ‘배반사건’문제를 ‘독립사건’으로 풀이하는 식이다. 각 개념의 정의를 구별하지 못했기 때문이다.



 정의는 다양한 풀이를 가능케 한다. ‘수열’의 정의는 ‘일정한 규칙에 따라 수들을 나열해 놓은 것’이다. 그런데 수열을 자연수에서 실수로 가는 함수로 정의하면 수열에 등장하는 개념들을 다른 측면(함수 관련 내용)으로 이해할 수 있어 풀이가 다양해진다. 등차수열은 수열 원래의 정의로 보면, 일정한 수가 규칙적으로 더해진(공차) 수열이다. 이를 함수로 정의하면, 자연수에서 실수로 가는 ‘일차함수’가 되는 식이다. 일차함수에선 ‘기울기’라는 개념이 중요한데, 등차수열의 ‘공차’가 ‘기울기’가 된다. 그래서 공차를 구할 때, 이원일차연립방정식이 아닌 두 점 좌표를 이용한 기울기 구하는 방법과 같은 방법으로 구할 수 있게 된다. 새로운 풀이법을 사용하는 것이다.



 수학에서는 어떤 개념이 정의가 된다는 전제 하에 이론을 설명하고 문제를 푼다. 그런데 가끔은 ‘정의가 되는지’, 즉 ‘정의 자체’를 묻기도 한다. 예를 들어 역함수·역행렬 등과 같은 개념은 정의 되는지가 문제가 된다. 관련 문제를 보면 ‘역함수가 존재할 때’, ‘역행렬이 존재하지 않을 때’와 같은 표현이 등장한다. 이 경우 정의를 통해 그 존재여부를 명확히 하고 문제를 풀 것을 요구하고 있는 것이다. 정의를 꼼꼼히 이해해야 하는 이유다.



 정의는 의미는 결코 가볍지 않다. 공식을 기억할 정도로 정의도 정확하게 기억해야 한다. 혼동이 일어나는 정의는 유사한 부분과 차이 나는 부분을 명확하게 구분해야 한다. 서로 배척하는 개념들의 정의도 그 성질을 잘 파악해야 한다. 예를 들어 영인자와 역행렬은 서로 배척하는 개념이다. 어떤 행렬이 역행렬을 가지면, 이 행렬은 절대 영인자가 될 수 없다. 정의는 수학 이론학습에 있어 출발점이며 도착점이다. 정의를 소홀히 하면, 공식은 암기 수준에 그치고, 문제의 출제 단원조차 밝힐 수 없게 된다.



<이광준 이투스교육 수학참고서 『6inch』 대표저자>

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