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[김대수의 수학 어드벤처] 19세기에 디지털 시대 터 닦은 불멸의 수학자들

수학은 예로부터 논리학과 밀접한 관계를 맺어 왔다. 20세기 중반 이후에는 논리학과 관련한 이론들이 전자회로나 칩으로 구현돼 컴퓨터를 비롯한 디지털 IT 시대의 핵심 기술로 자리잡고 있다.

영국의 수학자이자 논리학자인 드 모르간(De Morgan, 1806~71)은 근대 대수학 개척자로 알려져 있다. 논리학적 측면을 개척한 선각자 역할을 했으며, 논리적 명제와 집합 연산에서의 기초 규칙인 '드 모르간의 법칙'을 발견했다.

한편 벤 다이어그램으로 유명한 영국 수학자 존 벤(John Venn, 1834~1923)도 논리학을 연구했다. 그는 형식논리에 있어 다이어그램(도표)을 사용해 논리나 집합 사이의 관계를 보다 쉽게 이해할 수 있게 했다.

수학교수였던 드 모르간은 영국 낭만파 시인인 바이런(Byron)의 딸 에이다 러브레이스에게 수학을 가르쳤고, 친구 베비지(Babbage)에게 그녀를 소개해 ‘분석엔진’이라는 이론적 컴퓨터를 완성하는 데 큰 도움을 줬다. “수학적 발견의 원동력은 논리적 추론이 아니고 상상력”이란 명언을 남긴 그는 『형식적 논리학(Formal Logic)』 등의 유명한 저서를 남겼다. 또 인류 최초로 수학적 귀납법이란 증명법의 개념을 사용했다.

특히 그는 자신의 이름이 붙은 드 모르간의 법칙(De Morgan's laws)으로 요즘 중고등학생에게도 친숙하다. 이 법칙은 수리 논리학이나 집합론에서 논리곱, 논리합, 그리고 논리부정 연산간의 관계를 기술, 정리한 것이다.

드 모르간의 법칙의 핵심은 p∧q=p∨q와 p∨q=p∧q와 같은 규칙들인데, 이 법칙은 [그림]과 같이 논리곱이 논리합으로 변환될 수 있고 그 역도 성립한다. 이 법칙은 이후 수학적 증명과 컴퓨터 프로그래밍에도 자주 사용되고 있다. 이 법칙은 전자공학적으로 논리 회로에 응용되기도 한다. 컴퓨터 칩이나 반도체 전자회로에서 교집합을 나타내는 AND 연산, 합집합을 나타내는 OR 연산, 그리고 부정을 나타내는 NOT 회로와 일대 일로 대응한다. 드 모르간의 법칙은 반도체 회로의 효율에 크게 기여했으며, 드 모르간은 존 벤(John Venn), 조지 부울(G. Boole)과 함께 현대 논리학의 기반을 다지는 데 크게 기여했다.

[문제 1]에서는 하나의 답에 국한되지 말고 가능한 방법을 이리저리 조합하며 시도해본다.

[문제 2]에서는 3×2=6, 6+5=11, 11×2=22, 22+5=27과 같이 다음 수는 앞의 수에다 2를 곱하고, 그 수에다 5를 더한 숫자가 반복되는 규칙을 발견할 수 있다.

따라서 다음 수는 59×2=118이 된다.

[문제 3]에서는 꼭 3개의 정사각형만 남는 경우를 살펴보는 것이 중요하다.



김대수 서울대 사대 수학과·동 대학원 수료, 미국 사우스캐롤라이나대 컴퓨터 공학 석·박사, 인공지능과 신경망 등을 연구해 온 컴퓨터공학자이자 두뇌 과학자다. 『창의 수학 콘서트』와 컴퓨터공학 관련 10여 권의 저서를 출간했다.

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