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[김대수의 수학 어드벤처] 불가사의 < 무량대수 < 구골 … ‘억수로 큰 수’도 계급이 있다

학창 시절 순열·조합과 더불어 계승(階乘) 또는 팩토리얼(factorial)이란 개념을 접한 기억이 날 것이다. 느낌표와 같은 부호를 쓰는 n!은 1부터 n까지의 자연수를 차례로 모두 곱한 값이다.

따라서 1!=1, 2!=2, 3!=6… 등인데 10!인 경우에는 3,628,800으로 수가 커진다. 20!의 경우에는 19자리 수, 30!은 33자리 수, 40!은 48자리 수, 50!은 무려 65자리 수의 어마어마하게 큰 수가 된다.

그러면 두뇌 스포츠인 바둑에서의 경우의 수는 얼마나 될까? 바둑은 가로와 세로가 각각 19칸으로 돌을 놓을 수 있는 위치는 361개다. 그런데 흑과 백이 교대로 두게 되므로 이론상 361! 정도로 엄청 큰 숫자다. 참고로 253!은 500자리 수이고 450!은 1000자리 수에 해당하는데, 1000!의 경우에는 그림과 같이 4 × 10의 2567승에 해당한다.

우리는 엄청나게 많은 양을 ‘억수로 많다’라고 표현하기도 한다. 인도 사람들은 갠지스강 유역 모래알의 총 개수 단위를 ‘항하사’라고 불렀는데 10의 52승에 해당한다. 그것보다 큰 ‘불가사의’는 10의 64승, ‘무량대수’는 10의 68승을 나타낸다.

한편 서양에서의 엄청나게 큰 수로는 1940년 미국의 수학자 에드워스 카스너가 저술한 『수학과 상상』이란 저서에 적힌 ‘구골(googol)’인데, 10의 100승을 나타내며 이를 쉽게 표현하면 1을 적고 그 뒤에 0을 100개 적는 수다. 그 외에도 10의 10승의 100승인 ‘구골플렉스(googolplex)’를 비롯한 여러 가지 큰 수들이 있다.

구글(Google)은 1998년 수학적 값 체계와 연계한 ‘페이지 랭크’라는 독창적인 검색 알고리즘을 개발해 급성장한 세계 최대의 인터넷 검색 서비스 회사인데, 아주 큰 수를 뜻하는 수학 용어인 ‘구골’에서 회사 이름이 유래됐다고 한다.

구글의 창업자 세르게이 브린과 래리 페이지는 ‘세상의 모든 것을 검색할 수 있다’는 뜻으로 회사 이름을 구골로 내정했다가 인터넷 도메인을 등록하는 과정에서 비슷한 이름인 구글로 등록했기 때문에 구글이 됐다는 것이다.

10여 년 전의 크레이(CRAY)란 수퍼 컴퓨터는 1초에 100억 개 정도의 명령어를 수행할 수 있었지만, 최근 들어 처리 속도가 가장 빠른 타이탄(Titan)이란 수퍼 컴퓨터는 1초에 10의 16승에 해당하는 1경7590조 번의 연산을 할 수 있다니 상상 속의 큰 수도 첨단 수퍼 컴퓨터를 통해 다룰 수 있을 날이 점차 가까이 오고 있다.

[문제 1]에서 2를 10번 곱하면 1024이므로 대략 1000으로 생각하면 2의 20승은 1000을 두 번 곱한 셈이므로 100만, 2의 30승은 그것의 천 배인 10억 남짓 되는 수다.

[문제 2]에서 ★연산은 두 수를 더한 값의 일의 자리 수만 나타냄에 착안한다.

[문제 3]에서는 위의 왼쪽 값에다 5를 더하거나, 또는 위의 오른쪽 값에다 3을 더하면 아래의 값이 되는 규칙을 파악한다.


정답
[1] (4)번
[2] 4 + 7 = 11 중 1
[3] 4 + 5 = 9 또는 6 + 3 = 9


김대수 교수 한신대 컴퓨터공학부

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