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[김대수의 수학 어드벤처] 디지털의 출발점은 논리학자 아리스토텔레스

논리란 무엇인가? 논리란 인간이 어떻게 사고하는가를 표현하는 생각의 규칙을 말한다. 인간의 사고가 논리적인지를 판단하는 것은 사고하는 사람이 주어진 문제를 객관적이고 명확하게, 그리고 사고의 법칙을 체계적으로 추구하여 분석하는지의 여부로 결정된다.

논리에 있어서 명제(proposition)는 가장 기본적인 개념이다. 명제란 어떤 사고를 나타내는 문장 중에서 참(true)이나 거짓(false)을 객관적이고 명확하게 구분할 수 있는 문장이나 수학적 식을 말한다.

논리는 일반적으로 명제 논리와 술어 논리로 구분된다. 명제 논리는 주어와 술어를 구분하지 않고 전체를 하나의 식으로 처리하여 참 또는 거짓을 판별하는 법칙을 다루고, 술어 논리는 주어와 술어로 구분하여 참 또는 거짓에 관한 법칙을 다룬다.

논리학은 오류에 빠지지 않고 사리에 맞는 합리적 사고로 진정한 지식을 얻기 위해 반드시 지켜야 하는 사고의 규범을 연구하는 학문으로서, 고전논리학·관계논리학·과학논리학·수리논리학 등으로 나누어지기도 한다.

논리는 까마득한 고대 문명 사회에서부터 시작되었으나 요즘 중고등학생들이 수학 교과서에서 접하는 논리학은 기원전 4세기 아리스토텔레스(Αristoteles, B.C. 384년~B.C. 322년)에 의해 체계가 잡혔다. 그는 “시작이 반이다”“배우기는 힘들지만 그 열매는 달다”와 같은 많은 명언을 남겼다.

지금도 자주 쓰이는 아리스토텔레스의 삼단논법은 매우 유명하다. 예를 들어 “인간은 모두 죽는다”(대전제), “소크라테스는 인간이다”(소전제), “따라서 소크라테스는 죽는다”(결론)라고 하는 논법이다.

그는 플라톤의 제자로서 고대 그리스의 철학자·논리학자·윤리학자로서 형식논리학의 선구자인데(그림의 중앙 왼쪽), 그가 창안한 개념은 19세기에 수리논리학 분야의 발전이 있기까지 서양 논리학의 주된 흐름으로 자리 잡았다.

그 후 17세기에 접어들어 독일의 수학자 라이프니츠(Leibniz)는 연역추론 과정을 명확히 하기 위해 기호를 사용하는 것을 고안해냈다. 그가 생각한 개념은 19세기에 들어와서 현대 기호논리의 창시자인 영국의 수학자 불(Boole)과 드 모르간(De Morgan)에 의해 확립되었다.

특히 불이 정립한 AND, OR, NOT 연산을 바탕으로 이루어지는 수학적 논리와 드 모르간의 법칙이 현대 디지털 기술을 구현하는 반도체에 적용되어 디지털 논리 회로의 설계를 통한 컴퓨터와 휴대전화 등의 하드웨어와 관계형 데이터베이스 이론 등에 필요한 이론적 기반을 제공하고 있다.

[문제 1]에서는 다음과 같이 논리적으로 추론해낼 수 있다. 소크라테스는 사람이고, 사람은 동물이고, 모든 동물은 죽는다. 그러므로 소크라테스는 죽는다.

[문제 2]에서는 앞의 숫자에다 일정한 수를 곱한 규칙을 발견할 수 있다.

[문제 3]에서는 5가지 조건들을 논리적으로 판단하면 된다. 그 결과 E < A < B < D < C의 순서를 알아낼 수 있다.


김대수 교수 한신대 컴퓨터공학부

포함의 아픔을 아직도 그대로...

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