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[김대수의 수학 어드벤처] 시력 잃어가면서도 수학 사랑 … 그래프 이론 터 닦은 오일러

예전에는 자료를 숫자로 다루는 경우가 많았으나 요즘에는 그래프를 통해 표현하는 경우가 많아졌다. 그래프 이론은 원래 수학 중 기하학의 영역이었으나 연결 상태를 추상적으로 표현할 수 있기 때문에 요즘에는 매우 다양한 분야들에 응용되고 있다.

그래프 이론은 스위스 태생의 18세기 저명한 수학자이자 물리학자, 그리고 천문학자인 오일러(Leonhard Euler·1707~1783)의 쾨니히스베르크 다리 문제를 계기로 시작됐다.

오일러는 쾨니히스베르크란 도시에 살고 있었는데, 그림과 같이 프레겔 강의 중간에 두 개의 섬과 7개의 다리가 있었다. 사람들은 ‘같은 다리를 두 번 건너는 일 없이 이들 다리를 모두 건널 수가 있는가’란 문제를 풀려고 노력했다.

많은 사람이 해답을 구하기 위해 노력했으나 실패해 당대의 저명한 수학자인 오일러에게 물었다. 그랬더니 그는 그림에서의 A, B, C, D와 같이 섬과 강둑을 점으로, 다리는 곡선으로 변환시켜 이 문제를 풀 수 없음을 입증했다. 그 후 이 문제를 계기로 그래프와 관련된 연구가 체계적으로 발전하게 되었다.

그는 1743년 처음으로 함수를 나타내는 기호 f(x)를 사용하며 미·적분학을 계승 발전시켰으며 연결된 평면 그래프에서 꼭짓점의 수에다 면의 수를 더하고, 연결선의 수를 빼면 항상 2가 나온다는 오일러의 정리를 고안한 것으로도 유명하다.

그가 확립한 오일러의 공식은 지수 형태의 초월함수를 다루는 것으로 건축이나 토목 등 공학적 응용에 널리 쓰이며, 전압이나 전류 등의 벡터 표시를 지수 함수 표시로 바꿀 때도 매우 유용하다.

많은 사람이 오일러가 만든 공식을 ‘세상에서 제일 아름다운 공식’이라 부른다. 베토벤이 말년에 소리를 들을 수 없어도 아름답고 위대한 음악을 남긴 것과 같은 맥락으로, 오일러는 29세에 오른쪽 눈을 실명하고 말년에 시력을 완전히 잃고도 그 후 17년 동안 수학 연구에 열정을 바쳐 후대에 귀중한 연구 업적을 남겼기 때문이다.

오일러의 연구로 시작된 오늘날의 그래프 이론은 수학에서의 위상학, 공학이나 사회학 관련 분야에서의 모델링, 반도체 관련 논리 회로 설계, 통신 분야의 최단 경로 네트워크, 컴퓨터공학에서의 운영체제 등 다방면에 걸쳐 응용되고 있다.

[문제 1]에서는 서로 다른 자연수라는 점에 착안해 식을 세우기보다는 작은 숫자부터 몇 가지를 가정해 합과 곱을 만들어 본다.

[문제 2]에서는 공깃돌의 단계별 개수가 +2씩 증가한다는 것을 알 수 있다. 따라서 5단계에서는 2개 늘어난 9개이며, 6단계에서는 11개가 된다.

[문제 3]에서는 B와 D가 바로 이웃에 있는 조건에 따라 C는 왼쪽으로 향해야 한다. 그 결과 왼쪽부터의 순서는 C, A, B, D, E다. 따라서 A지점은 왼쪽에서 두 번째에 있다.



김대수 서울대 사대 수학과·동 대학원 수료, 미국 사우스캐롤라이나대 컴퓨터 공학 석·박사, 인공지능과 신경망 등을 연구해 온 컴퓨터공학자이자 두뇌 과학자다. 『창의 수학 콘서트』와 컴퓨터공학 관련 10여권의 저서를 출간했다.

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