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[김대수의 수학 어드벤처] 수학적 증명은 NASA에도 필수 발사 전 오류 발견에 활용

현대 과학의 눈부신 발전은 새로운 이론들을 끊임없이 개발하고, 그것을 응용함으로써 이루어져 왔다. 기존의 학설을 바탕으로 새로운 이론을 추론해 그것을 입증하거나 증명함으로써 보다 넓고 깊이 있는 학문적 발달이 가능했던 것이다. 따라서 공학이나 수학에 있어서 증명은 매우 중요하다.

그러나 우리는 주어진 사실을 입증하거나, 어떤 이론적인 문제들을 증명하려고 할 때 고민에 빠지는 경우가 상당히 많다. 어쩐지 망설이게 되고 문제를 해결하고 난 후에도 확신을 가지지 못하는 경우가 많은데, 그중 가장 두드러진 이유로는 명백한 근거를 밝혀야 하는 증명에 대한 체계적인 연습이 불충분하기 때문일 것이다.

‘증명(proof)’이란 논리적 법칙을 이용해 주어진 가정으로부터 결론을 유도해내는 추론의 한 방법으로서 어떤 명제나 논증이 적절하고 타당한지를 입증하는 작업이다. 증명 방법에는 수학적 귀납법, 모순 증명법, 직접 증명법, 대우 증명법, 존재 증명법, 반례 증명법, 필요충분조건 증명법 등이 있다. 대부분의 사람들이 중학교에 들어와서 증명이라는 것을 만나고부터 수학이 골치 아프고 어렵다고 느끼곤 한다. 사실 삼각형의 세 내각의 합이 180도라는 것을 보조선을 그어 증명하는 정도까지는 흥미가 있으나, 그 이상 복잡한 문제는 매우 어렵게 느껴진다.

따라서 수학적 이론을 이용해 응용적인 면에 주안점을 두는 공학이나 컴퓨터 관련 학문에 있어서는 엄밀한 증명 대신에 다음과 같은 단계적 접근 방식이 매우 효과적이다.

첫째, 아이디어 스케치 단계다. 이 단계에서는 문제 해결의 핵심적인 실마리를 찾아내 기술하게 된다. 따라서 문제를 해결할 수 있는 방법론을 개략적인 아이디어로 스케치한다.

둘째, 구체적인 방법론 제시 단계다. 아이디어를 묶어서 구체적인 블록 다이어그램으로 표현하거나, 프로그래밍의 경우 유사 코드 단계까지 구체화하는 작업이다.

새롭게 정립되는 수학적인 이론이나 명제는 반드시 증명되어야 한다. 그와 더불어 엄밀한 정확성이 요구되는 컴퓨터 프로그램을 입증하는 것 또한 매우 중요하다. 정확한 프로그램이 되기 위해서는 주어진 입력에 대해 정확한 결과를 도출해내야만 한다. 이를 위해 프로그램의 정확성에 대한 입증이 필요하다.

미국의 우주항공국(NASA)에서는 아폴로 1호를 비롯한 인공위성들을 쏘아 올리기 전에 프로그래머들이 작성한 소프트웨어를 놓고 그곳에서 근무하는 많은 수학자의 증명을 통해 만약에 생길지도 모를 오류를 방지하고 있다. 엄밀한 추론을 통한 수학적 증명은 언뜻 보기에는 상당히 어렵게 느껴지지만 이를 극복함으로써 공학이나 수학을 비롯한 여러 가지 분야에서 논리적 바탕에 기반을 둔 학문적 탐구가 가능해질 것이다.

[문제 1]에서는 각 시간과 분의 변화를 면밀히 살펴본다. 이 경우 2시간 10분씩 줄어드는 규칙을 발견할 수 있을 것이다.

[문제 2]에서는 분모가 1, 2, 3, 4 등으로 1씩 커진다. 한편 분자의 변화를 살펴보면 힌트를 얻을 수 있다. 즉 (1), (2, 1), (3, 2, 1), (4, 3, 2, 1)로 진행됨을 알 수 있다.

[문제 3]에서는 숫자들이 모두 홀수이며, 그들 사이의 간격이 일정하다는 점을 이용하면 아이디어가 떠오를 것이다.

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