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[김대수의 수학 어드벤처] 곱하고 쪼개도 … 원래 숫자로 돌아가는 마법의 수

수학의 기본 도구는 숫자이며, 현재 전 세계 어디서나 아라비아숫자가 널리 쓰이고 있다. 또한 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈 등의 연산 기호들도 거의 세계적으로 통일되어 있다.

우리가 1, 2, 3…으로 부르는 정수의 경우, 정수론 분야에서의 많은 연구를 거쳐 다양한 특성과 특이한 규칙들이 발견돼 활용되고 있다. 컴퓨터나 스마트폰에 쓰이는 암호도 정수론에 기반한 것이다.

프랑스의 과학소설 작가인 베르나르 베르베르(Bernard Werber)의 소설 신에 나오는 142857이란 숫자는 매우 신비로운 수이다. 이 숫자는 곱하고 쪼개는 등 여러 가지 연산을 적용해도 배열만 다를 뿐 다시 원래의 숫자로 돌아가는 성질을 가지고 있기 때문이다.

예를 들어 숫자 142857에 1부터 6까지 숫자를 곱하면 142857의 숫자가 위치만 바뀌어 나타나게 된다.

 142857×1=142857
 142857×2=285714
 142857×3=428571
 142857×4=571428
 142857×5=714285
 142857×6=857142

또한 142857에 7을 곱하면 답은 놀랍게도 999999란 점이다. 더욱 놀라운 점은 자릿수별로 숫자를 쪼개어 더했을 때 나타나는 결과다. 숫자 142857을 둘로 쪼개 더해 보면 ‘142+857=999’이고, 셋으로 쪼개 계산해 보면 ‘14+28+57=99’다.

마지막으로 142857을 제곱하면 ‘20408122449’라는 숫자가 나오는데 이를 둘로 쪼개서 더하면 ‘20408+122449=142857’이 된다.

이러한 현상의 비밀은 순환소수에 근거하는데, 기준이 되는

1/7=0.142857142857…이고, 나머지 분수들은2/7=0.285714285714…, 3/7=0.428571428571…, 4/7=0.571428571428…, 5/7=0.714285714285…, 6/7=0.857142857142…다. 여기에서 순환되는 모든 마디가 1, 4, 2, 8, 5, 7의 배열 순서만 바뀐 것이라는 점에 그 비밀이 있다. 참으로 신비로운 수의 세계다.

[문제 1]에서 3단의 경우 그 결과의 1의 자릿수가 각각 3, 6, 9, 2, 5, 8, 1, 4, 7임을 확인하고, 다른 단들을 되뇌어 본다. 2단, 4단, 6단, 8단 등은 그 결과가 짝수만 나오게 되고 5단의 경우에는 그 결과가 0과 5뿐이라는 것을 금방 알 수 있다. 따라서 7단과 9단을 확인해 보면 될 것이다.

[문제 2]에서는 원판에 적혀 있는 숫자들의 규칙을 발견하는 것이 관건이다. 얼핏 보면 상당히 어렵게 느낄 수 있으나 인접한 수, 한 칸 건너뛴 수, 두 칸 건너뛴 수의 관계를 살펴보면 실마리가 풀릴 것이다.

[문제 3]에서는 1에서 9까지 쓰이지 않은 숫자인 2, 5, 8, 9 숫자를 넣어 여러 가지 조합으로 식이 성립되도록 만들어본다. 숫자 4 밑에는 2나 9가 들어갈 수 없으므로 5나 8이 후보인데, 5가 들어가면 100의 자리에서 성립하지 않는다. 따라서 8을 넣으면 순조롭게 풀릴 것이다.

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